Área (geometría)

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Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de triángulos.

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Tabla de contenidos

1 Área de figuras planas
2 Área de superficies curvas
- 2.1 Superficie de revolución
- 2.2 Cálculo general de áreas
3 Unidades de medida de superficies
- 3.1 Sistema métrico (SI)
- 3.2 Sistema inglés de medidas
4 Referencias
5 Enlaces externos

Área de figuras planas

Área de un triángulo

El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:^[1]

$A =\frac{b\cdot h}{2}$

si el triángulo es rectángulo la altura del mismo coincidiría con uno de sus catetos y la fórmula quedaría de la siguiente forma, donde a y b corresponde a los catetos:

$A =\frac{a\cdot b}{2}$

si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Área de un cuadrilátero

El cuadrado se incluye como un caso especial de rectángulo, donde todos sus lados tienen la misma longitud quedando la fórmula de la siguiente forma:^[2]

$A = a \cdot a \, = a^2$

El rectángulo está formado por dos pares de rectas paralelas formando ángulos de 90º entre sí, el área sería la multiplicación de dos de sus lados a y b:^[3]

$A = a \cdot b \,$

Además del cuadrado y el rectángulo existen otros tipos de cuadriláteros como:

El Rombo, que tiene sus cuatro lados iguales sin que todos sus ángulos sean iguales, y cuya área viene dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

$A = \frac{D\cdot d}{2}$

El romboide que es un rectángulo deformado, teniendo los lados parelelos dos a dos, y cuya área viene dada por el producto de su base por su altura:^[4]

$A = b\cdot h\,$

El trapecio que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):^[5]

$A = \frac{1}{2}h(B+d)$

El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:

$A = \frac{1}{2}\left(a_1a_2 \sin \alpha + b_1b_2 \sin \beta \right)$

Siendo:

$\alpha\,$ el ángulo comprendido entre los lados $a_1\,$ y $a_2\,$ .

$\beta\,$ el ángulo comprendido entre los lados $b_1\,$ y $b_2\,$ .

Área del círculo y la elipse

El área delimitada por un círculo o circunferencia se calcula mediante la siguiente expresión matemática:^[6]

$A = \pi \cdot r^2\,$

El área de una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:^[7]

$A = \pi \cdot a \cdot b$

Área encerrada entre dos funciones

El área encerrada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

Una forma para hallar el área encerrada entre dos funciones es utilizando el cálculo integral:

$A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: $f(x)\,$ y $g(x) [< f(x)]\,$ en el intervalo $[a,b]\,$ .

Por ejemplo, si se quiere hallar el área encerrada entre el eje x y la función $f (x) = 4 - x 2$ en el intervalo $[ - 2;2]$ , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: $g (x) = 0$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left( 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right) = \frac{32}{3}$

Por lo que se concluye que el área encerrada es $\frac{32}{3}$ .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Área de superficies curvas

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superificie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superificie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por una tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un cierto eje la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

$A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx$

Cálculo general de áreas

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy$

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como: